다항식의 BOP에서 나온 첫 오답의 총합은?

Problem 101

출제 일시 : 2013-01-29 09:27:50

어떤 수열의 첫 k개 항이 주어졌다고 해도, 그 다음 항이 무엇인지를 확신할 수는 없습니다. 그 수열을 나타낼 수 있는 다항식은 무한히 많기 때문입니다.

예를 들어 세제곱 수로 이루어진 수열은 아래와 같은 삼차식에 의해 정의됩니다.

un = n3 : 1, 8, 27, 64, 125, 216, ...

여기서 첫 두 항만 제시되었다고 합시다. "단순한 것이 제일"이라는 원칙을 따른다면, 이것을 일차식으로 만들어지는 공차 7인 등차수열로 보고 다음 항을 15라 추정하는 것이 이상하지 않습니다. 처음 항이 세 개가 주어져도, 같은 원칙대로라면 2차식으로 만들어지는 수열이라 생각할 수 있습니다.

처음 k개의 항이 주어졌을 때 거기에 바탕하여 만든 최소차의 다항식으로 추정한 n번째 항을 OP(k, n)이라고 하겠습니다. nk 일 때는 당연히 올바른 결과를 얻겠지만, OP(k, k+1)은 첫 번째 오답(first incorrect term: 이하 FIT)이 될 가능성이 있습니다. 이런 경우 OP(k, k+1)은 bad OP(BOP)라 부르기로 합니다.

또한 첫 항만 주어진 경우라면 OP(1, n) = u1, 즉 수열의 모든 항이 상수라고 보는 것이 타당할 것입니다.

이제 앞서 나왔던 세제곱 수의 수열은 지금까지의 규칙을 따라 다음과 같은 순서로 OP를 구할 수 있습니다.

OP(1, n) = 1 1, 1, 1, 1, ...
OP(2, n) = 7n − 6 1, 8, 15, ...
OP(3, n) = 6n2 − 11n + 6 1, 8, 27, 58, ...
OP(4, n) = n3 1, 8, 27, 64, 125, ...

여기서 k≥4 이면 BOP가 존재하지 않음이 명백합니다.

위 결과의 BOP에서 나온 FIT을 모두 더하면 (예제에서 빨간색 표시), 그 값은 1 + 15 + 58 = 74 입니다.

그렇다면 아래와 같은 10차식이 있을 때,

un = 1 − n + n2n3 + n4n5 + n6n7 + n8n9 + n10

이 다항식의 BOP에서 나온 FIT의 총합은 얼마입니까?



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