제곱근 2는 다음과 같은 연분수의 형태로 나타낼 수 있습니다.

위 식을 처음부터 한 단계씩 확장해 보면 아래와 같습니다.

$1 + \frac 1 2 = \frac 32 = 1.5$
$1 + \frac 1 {2 + \frac 1 2} = \frac 7 5 = 1.4$
$1 + \frac 1 {2 + \frac 1 {2+\frac 1 2}} = \frac {17}{12} = 1.41666 \dots$
$1 + \frac 1 {2 + \frac 1 {2+\frac 1 {2+\frac 1 2}}} = \frac {41}{29} = 1.41379 \dots$

그 다음은 $\frac {99}{70}$, $\frac {239}{169}$, $\frac {577}{408}$ 로 확장이 되다가, 여덟번째인 $\frac {1393}{985}$ 에 이르면 처음으로 분자의 자릿수가 분모의 자릿수를 넘어섭니다.

처음부터 1천번째 단계까지 확장하는 중에, 분자의 자릿수가 분모보다 많아지는 경우는 몇 번이나 됩니까?