x2 – Dy2 = 1 형태의 디오판토스 방정식 풀기

Problem 66

출제 일시 : 2012-02-04 18:18:44

다음과 같은 2차 디오판토스 방정식이 있습니다.

x2 – Dy2 = 1

(역주: 디오판토스 방정식은 정수해만 허용하는 부정다항방정식입니다. 그 중에서도 여기 나온 형태는 펠의 방정식이라고 하는데, x/y로 √D의 근사값을 구하는 데 이용됩니다.)

예를 들어서 D=13일 때 x를 최소화하는 해는 6492 – 13×1802 = 1 이 됩니다.

D가 제곱수일 경우에는 위 식을 만족하는 자연수 해는 없다고 볼 수 있습니다.

D = {2, 3, 5, 6, 7} 에 대해서 x를 최소화하는 자연수 해를 찾아보면, 아래와 같은 결과를 얻게 됩니다.

32 – 2×22 = 1
22 – 3×12 = 1
92 – 5×42 = 1
52 – 6×22 = 1
82 – 7×32 = 1

위에서 보듯이 D ≤ 7 인 경우에 대해 x를 최소화하는 해를 구하면, x의 값이 가장 큰 것은 D=5일 때입니다.

D ≤ 1000 인 경우에 대해 x를 최소화하는 해를 구하면, 가장 큰 x의 값을 갖는 D는 얼마입니까?



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