모노폴리 게임을 4면체 주사위로 할 때 가장 많이 방문하는 칸은?
Problem 84
<모노폴리>라는 보드게임의 놀이판은 표준적으로 아래와 같은 모양을 하고 있습니다.
| GO | A1 | CC1 | A2 | T1 | R1 | B1 | CH1 | B2 | B3 | JAIL |
| H2 | C1 | |||||||||
| T2 | U1 | |||||||||
| H1 | C2 | |||||||||
| CH3 | C3 | |||||||||
| R4 | R2 | |||||||||
| G3 | D1 | |||||||||
| CC3 | CC2 | |||||||||
| G2 | D2 | |||||||||
| G1 | D3 | |||||||||
| G2J | F3 | U2 | F2 | F1 | R3 | E3 | E2 | CH2 | E1 | FP |
각 플레이어는 GO로 표시된 칸에서 출발하며, 6면체 주사위 두 개를 던져서 나온 값만큼 시계방향으로 말을 전진시킵니다. 여기서 추가적인 조건이 없다면 말이 각 칸을 방문할 확률은 모두 똑같이 2.5%가 되겠지만, 실제로는 특별한 규칙이 적용되는 G2J (Go To Jail - 감옥으로 가시오), CC (Community Chest - 공동기금), CH (Chance - 찬스) 같은 칸이 있어서 그렇게 되지는 않습니다.
G2J 외에도 CC나 CH에서 "감옥으로 가시오" 카드를 뽑으면 플레이어는 바로 감옥으로 가야 하고, 또 "더블"이 3번 연속 나왔을 때도 그 값만큼 이동하는 대신 감옥으로 직행합니다.
(역주: 두 주사위의 숫자가 똑같이 나오면 말을 그만큼 이동시킨 다음에 주사위를 한 번 더 던지는데, 이것을 더블이라고 합니다)
CC와 CH에서 사용할 카드들은 게임을 시작할 때 잘 섞어서 엎어둡니다. 플레이어의 말이 CC나 CH에 도착하면, 해당되는 카드를 한 장 뽑아서 거기 쓰인 지시를 따르며 카드는 맨 밑으로 다시 집어넣습니다. 각각의 더미는 16장의 카드로 구성되는데, 그 중에서 칸의 이동에 관련된 것들만 보면 다음과 같습니다.
- 공동기금 카드 (16장 중 2장):
- 출발지로 전진
- 감옥으로 이동
- 찬스 카드 (16장 중 10장):
- 출발지로 전진
- 감옥으로 이동
- C1으로 이동
- E3로 이동
- H2로 이동
- R1으로 이동
- 다음 R(철도 회사)로 이동
- 다음 R로 이동
- 다음 U(시설 회사)로 이동
- 뒤로 3칸 후퇴
이 문제의 핵심은, 주사위를 굴렸을 때 말이 어떤 칸에 도착할 확률이 얼마나 되는가입니다.
G2J의 경우는 도착 즉시 감옥으로 이동해야 하므로 0의 확률을 가질 것이고, CH 칸은 5/8의 확률로 다른 칸으로 이동하게 되니 그 다음으로 낮은 확률을 가지게 될 것입니다.
여기서는 방문 확률에 집중하기 위해, 감옥을 단순히 방문하는 것(Just Visiting)과 감옥으로 보내진 것을 구별하지 않기로 합니다. 또, 감옥에서 더블이 나오면 석방되는 원래의 규칙도 무시하기로 합니다 (항상 다음 턴에 돈을 내고 석방되는 것으로 가정합니다).
통계적으로 가장 방문 확률이 높은 칸들을 뽑아보면 감옥 (6.24%), E3 (3.18%), 출발지 (3.09%)의 순이 됩니다. 출발지부터 시계방향으로 각 칸에 00 ~ 39의 번호를 매겨 보면 이 세 칸은 각각 10, 24, 00에 해당되고, 이것을 이어 붙이면 102400 이라는 문자열을 만들 수 있습니다.
만약에 6면체 대신 4면체로 된 주사위 두 개를 써서 게임을 플레이한다면, 가장 방문 확률이 높은 세 칸의 번호를 이어 붙인 문자열은 무엇이 되겠습니까?