$M(n,k,m)$은 이항 계수 $\displaystyle{\binom{n}{k}}$를 $m$으로 나눈 나머지를 나타냅니다.

$1000\lt p\lt q\lt r\lt 5000$ 이고 $p$,$q$,$r$이 소수일 때, $\displaystyle{\sum M(10^{18},10^9,p\cdot q\cdot r)}$ 값을 계산하세요.

1. 어떤 좌석에 인접한 좌석이 (하나든 둘이든) 모두 비었다면 그 좌석에 앉습니다.
2. 만일 그런 좌석이 없고 인접한 좌석중 하나가 차 있는 좌석이 있다면 그 좌석에 앉습니다.
3. 그것도 아니라면 남은 좌석 중 하나에 앉습니다.

T(10) = 61632 이고 T(1 000) mod 100 000 007 = 47255094 입니다.

T(1 000 000) mod 100 000 007 값을 구하세요.

베지어 곡선은 아래와 같이 작성됩니다:

세 선분 P₀P₁, P₁P₂ 그리고 P₂P₃ 위에 세 점 Q₀,Q₁ 그리고 Q₂를 다음 조건과 같이 그립니다
P₀Q₀ / P₀P₁ = P₁Q₁ / P₁P₂ = P₂Q₂ / P₂P₃ = t (t는 범위 [0,1]의 어떤 실수입니다).

이제 선분 Q₀Q₁ 과 Q₁Q₂ 위에, 두 점 R₀ 와 R₁를 다음과 조건과 같이 그립니다
Q₀R₀ / Q₀Q₁ = Q₁R₁ / Q₁Q₂ = t (t는 위와 동일한 값입니다).

선분 R₀R₁ 위에 R₀B / R₀R₁ = t(t는 여전히 위와 동일한 값입니다)가 되는 점 B를 그립니다.

네 점 P₀, P₁, P₂, P₃으로 그리는 베지어 곡선은 선분 P₀P₁ 상의 점 Q₀가 선분을 이동하면서 만드는 B의 자취로 정의 됩니다.
(모든 계산에서 t의 값은 항상 동일해야 함에 주의하세요.)

위 작성법에서, 베지어 곡선은 점 P₀에서 선분 P₀P₁에 접하고 점 P₃에서 선분 P₂P₃에 접하는게 명백합니다.

네 점 P₀=(1,0), P₁=(1,v), P₂=(v,1) 과 P₃=(0,1)로 정의되는 3차 베지어 곡선을 이용해 사분원에 유사하게 만들 수 있습니다.
두 선분 OP₀, OP₃ 과 베지어 곡선이 이루는 영역의 면적이 (사분원의 면적인) ^π/₄이 되도록 v > 0의 값을 정합니다.

Fsf(n)의 정의를, 1보다 큰 하나 이상의 제곱청정한 인수로 n을 분해하는 방법의 수라고 하면, Fsf(54)=2 입니다.
(역주, 어떤 소수의 제곱으로도 나뉘지 않는 자연수를 제곱청정(squarefree) 수라 합니다)

S(n)을 ∑ Fsf(k) 여기서 k=2 에서 n까지라고 합시다.

S(100)=193 입니다.

S(10 000 000 000) 값을 구하세요.

• T₀ = 0
• T_2n = T_n
• T_2n+1 = 1 - T_n

{T_n}의 처음 몇 항은 다음과 같습니다:
01101001100101101001011001101001....

{A_n}을 각 원소의 이진 표현이 {T_n}의 부분 수열로 나타나는 정수들의 정렬된 수열로 정의합니다.
예를 들어, 십진수 18 은 이진수로 10010 입니다. 10010 은 {T_n} (T₈에서 T₁₂까지)에 나타나므로, 18 은 {A_n}의 원소가 됩니다.
반면에 십진수 14 는 이진수로 1110 인데 1110 은 {T_n}에 결코 나타나지 않기 때문에, 14 는 {A_n}의 원소가 될 수 없습니다.

A_n의 처음 몇 항은 다음과 같습니다:

또한 A₁₀₀ = 3251 이고 A₁₀₀₀ = 80852364498 입니다.

$\sum \limits_{k = 1}^{18} {A_{10^k}}$ 의 마지막 9 자리 수를 구하세요.

C(r)는 반지름이 r이고 중심이 원점 O(0,0,0)에 있는 구 입니다.
I(r)는 C(r)의 표면에 있는 각 좌표가 정수인 점의 집합입니다.
S(r)는 집합 I(r)의 각 원소에서 원점 O까지의 맨하탄 거리의 합입니다.

즉, S(45)=34518 입니다.

S(10¹⁰)를 구하세요.

처음에 호텔은 비어 있습니다. 힐베르트는 n^번째 손님에게 방을 배정하는 규칙을 정했습니다: 손님 n은 다음 중 하나의 조건을 만족하는 가장 낮은 층의 비어있는 첫 방을 배정 받습니다:

• 한 층이 비어 있음
• 비어 있지 않은 층일 때, 그 층의 최근 손님이 m이고, m + n이 완전 제곱수가 됨

손님 1은 1층이 비어 있기 때문에, 1층의 1번 방을 배정 받습니다.
손님 2는 1층의 2번 방을 받을 수 없습니다. 왜냐하면 1 + 2 = 3 이고 완전 제곱수가 아니기 때문입니다.
대신에 손님 2는 비어 있는 2층의 1번방을 배정 받습니다.
손님 3은 1층의 2번 방을 배정 받게 되는데 1 + 3 = 4 이고 완전 제곱수가 되기 때문입니다.

결국에는 줄을 선 모든 손님이 호텔에서 방을 배정 받습니다.

만일 손님 n이 f 층의 r 번방을 배정 받았다면 P(f, r) = n으로 정의합시다. 만일 어떤 손님도 배정 받지 못한 방이라면 함수 값은 0 입니다. 아래는 몇 개의 보기입니다:
P(1, 1) = 1
P(1, 2) = 3
P(2, 1) = 2
P(10, 20) = 440
P(25, 75) = 4863
P(99, 100) = 19454

f × r = 71328803586048 인 모든 양의 정수 f 와 r 에 대하여 P(f, r)의 합을 구하세요. 답으로는 마지막 8자리 수를 제출하세요.

가장 작은 순환 수는 6자리 수 142857 입니다:
142857 × 1 = 142857
142857 × 2 = 285714
142857 × 3 = 428571
142857 × 4 = 571428
142857 × 5 = 714285
142857 × 6 = 857142

다음 순환 수는 0588235294117647 이고 16 자리 수입니다.:
0588235294117647 × 1 = 0588235294117647
0588235294117647 × 2 = 1176470588235294
0588235294117647 × 3 = 1764705882352941
...
0588235294117647 × 16 = 9411764705882352

참고로 위 보기처럼 순환 수에서는 앞쪽 0이 매우 중요합니다.

가장 왼쪽 11자리가 00000000137이고 가장 오른쪽 5자리가 56789인 순환 수는 오직 하나 있습니다. (즉, 이 수는 00000000137...56789 형태입니다)
이 순환수 의 모든 자릿수의 합을 구하세요.

이런 성질을 만족하는 100 000 000 이하의 모든 양의 정수 n의 합을 구하세요.
즉, n의 모든 약수 d 에 대하여, d+n/d 가 소수여야 합니다.

$\sum \limits_{i = 1}^{30} {\left \lfloor a_i^{987654321} \right \rfloor}$의 마지막 8자리수를 구하세요.

참고: $\lfloor a \rfloor$는 소수점 이하 버림/바닥/절사 함수입니다.