피보나치의 금덩이
Problem 137
출제 일시 : 2020-07-14 11:43:44, ☕ 10
무한급수 $A_F(x) = x F_1 + x^2 F_2 + x^3 F_3 + \dots$에서 $F_k$는 피보나치 수열의 $k$번째 항입니다: $1, 1, 2, 3, 5, 8, \dots$; 즉, $F_k = F_{k-1} + F_{k-2}$, $F_1 = 1$ 이고 $F_2 = 1$ 입니다.
이번 문제는 $A_F(x)$가 자연수인 $x$ 값에 관한 것입니다.
| 놀랍게도 | $\begin{align*} A_F(\tfrac{1}{2}) &= (\tfrac{1}{2})\times 1 + (\tfrac{1}{2})^2\times 1 + (\tfrac{1}{2})^3\times 2 + (\tfrac{1}{2})^4\times 3 + (\tfrac{1}{2})^5\times 5 + \cdots \\ &= \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{4} + \tfrac{2}{8} + \tfrac{3}{16} + \tfrac{5}{32} + \cdots \\ &= 2 \end{align*}$ 입니다. |
아래에 첫 다섯 자연수 1 ~ 5에 대응하는 x값이 있습니다.
| $x$ | $A_F(x)$ |
|---|---|
| $\sqrt{2}-1$ | 1 |
| $\tfrac{1}{2}$ | 2 |
| $\frac{\sqrt{13}-2}{3}$ | 3 |
| $\frac{\sqrt{89}-5}{8}$ | 4 |
| $\frac{\sqrt{34}-3}{5}$ | 5 |
특히 $x$가 유리수인 $A_F(x)$는 매우 희귀해서 금덩이라고 불러도 될 것입니다. 예를 들어 10번째 금덩이는 74049690 입니다.
15번째 금덩이를 구하세요.