변형된 피보나치의 금덩이
Problem 140
출제 일시 : 2020-07-14 11:45:40, ☕ 11
무한급수 $A_G(x) = x G_1 + x^2 G_2 + x^3 G_3 + \cdots$에서 $G_k$는 2차 점화식 $G_k = G_{k-1} + G_{k-2}$, $G_1 = 1$, $G_2 = 4$의 $k$번째 항입니다; 즉, $1, 4, 5, 9, 14, 23, \dots$ 입니다.
이번 문제는 $A_G(x)$가 자연수인 $x$값에 관한 것입니다.
아래에 첫 다섯 자연수 1 ~ 5에 대응하는 $x$값이 있습니다.
| $x$ | $A_G(x)$ |
|---|---|
| $\frac{\sqrt{5}-1}{4}$ | 1 |
| $\tfrac{2}{5}$ | 2 |
| $\frac{\sqrt{22}-2}{6}$ | 3 |
| $\frac{\sqrt{137}-5}{14}$ | 4 |
| $\tfrac{1}{2}$ | 5 |
특히 $x$가 유리수인 $A_G(x)$ 는 매우 희귀해서 금덩이라고 불러도 될 것입니다; 예를 들어, 20번째 금덩이는 211345365 입니다.
처음 30개 금덩이의 합을 구하세요.