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가우스 정수

Problem 153

출제 일시 : 2020-08-05 01:02:02

모두 알다시피 방정식 x2=-1을 만족하는 실수 x는 없습니다.
그러나 허수 i를 도입한다면 이 방정식은 다음 두 해를 갖습니다: x=ix=-i입니다.
한걸음 더 나아가서 방정식 (x-3)2=-4 은 다음 두 해를 갖습니다: x=3+2ix=3-2i입니다.
x=3+2ix=3-2i은 서로의 켤레 복소수입니다.
복소수는 a+bi 형태의 수입니다.
일반적으로 a+biabi를 서로의 켤레 복소수라고 합니다.

복소수 a+bi 중에서 a, b 모두가 정수인 것을 가우스 정수(Gaussian Integer)라고 합니다.
물론 보통의 정수도 가우스 정수입니다(b=0).
이를 b ≠ 0 인 가우스 정수와 구분해서 "유리 정수(rational integers)"라고 합니다.
유리 정수 n을 나눈 결과 또한 가우스 정수라면 이 가우스 정수를 n의 약수라고 부릅니다.
예를 들어 5를 1+2i로 나눈 $\dfrac{5}{1 + 2i}$를 다음과 같이 단순화합니다:
분자와 분모 모두에 1+2i의 켤레 복소수인 1−2i를 곱합니다.
결과는 $\dfrac{5}{1 + 2i} = \dfrac{5}{1 + 2i}\dfrac{1 - 2i}{1 - 2i} = \dfrac{5(1 - 2i)}{1 - (2i)^2} = \dfrac{5(1 - 2i)}{1 - (-4)} = \dfrac{5(1 - 2i)}{5} = 1 - 2i$입니다.
그러니 1+2i는 유리 정수 5의 약수입니다.
그러나 $\dfrac{5}{1 + i} = \dfrac{5}{2} - \dfrac{5}{2}i$이므로 1+i은 5의 약수가 아닙니다.
만일 어떤 가우스 정수(a+bi)가 유리 정수 n의 약수라면 그것의 켤레 복소수 (abi) 또한 n의 약수입니다.

사실, 5는 실수부가 양수인 가우스 정수 약수가 6 개입니다: {1, 1 + 2i, 1 − 2i, 2 + i, 2 − i, 5}.
다음은 첫 5 개 유리 정수의 약수 표입니다:

n실수부가 양수인 가우스 정수 약수이 약수의 합
s(n)
111
21, 1+i, 1-i, 25
31, 34
41, 1+i, 1-i, 2, 2+2i, 2-2i,413
51, 1+2i, 1-2i, 2+i, 2-i, 512

위 표에서 실수부가 양수인 약수에 대하여 $\sum \limits_{n = 1}^{5} {s(n)} = 35$입니다.

또한 $\sum \limits_{n = 1}^{10^5} {s(n)} = 17924657155$입니다.

$\sum \limits_{n = 1}^{10^8} {s(n)}$는 얼마입니까?


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