경주(The Race)게임에서 두 선수는 공평한 동전 하나를 차례대로 던집니다.

1번 선수는 자기 차례에 동전을 한 번 던집니다. 앞 면이 나오면 1점을 얻고 뒷 면이라면 점수를 얻지 못합니다.

2번 선수는 자기 차례에 먼저 자연수 $T$를 선택하고 $T$번 동전을 던집니다. 모두 앞 면이 나오면 $2^{T-1}$점을 얻고 다른 경우에는 점수를 얻지 못합니다.

1번 선수가 먼저 시작하고 먼저 100점 이상을 얻는 선수가 이깁니다.

2번 선수는 항상 승리 확률이 가장 높은 횟수 $T$를 선택합니다.

2번 선수가 이길 확률은 얼마입니까?

답은 소수점이하 8자리까지 반올림하여 $0.abcdefgh$ 형태로 제출하세요.