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장난감 뒷정리

Problem 253

출제 일시 : 2020-11-13 00:08:10

40개의 조각으로 된 “수 애벌레(number caterpillar)”를 가진 어린 아이가 있습니다. 각 조각에 수가 하나씩 쓰여 있고 모두 한 줄로 연결하면 1 ~ 40 입니다.

매일 밤, 아이 아빠는 놀이방에 흩어져 있는 애벌레 조각을 주워 정리해야 합니다. 조각은 임의의 순서로 주워 올바른 위치에 정리합니다.
이렇게 애벌레를 만들면 점차 합쳐지는 몇 개의 마디가 됩니다.
처음에는 아무런 조각도 없으므로 마디의 수는 0에서 시작하고 보통 11개나 12개까지 늘어나다가 최종적으로 모든 조각이 제자리를 찾아 한 마디가 될 때까지 수가 줄어듭니다.

예를 들어:

위치한 조각 마디 수
121
42
293
64
345
54
354

M을 장난감 애벌레 뒷정리 중에 생길 수 있는 마디 수의 최댓값이라고 하면,
10조각 애벌레일 경우, 각 M의 경우의 수는 다음과 같습니다

M 경우의 수
1512      
2250912      
31815264      
41418112      
5144000      

따라서 가장 가능성 높은 M의 값은 3이고 평균은 385643113400 = 3.400732입니다, 소수점이하 6자리까지 반올림했습니다.

40조각 애벌레인 경우 가장 가능성 높은 M의 값은 11입니다; 그러면 M의 평균은 얼마입니까?

답은 소수점이하 6자리까지 반올림해서 제출하세요.


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