자연수 n의 모든 소인수 p에 대하여 p²또한 n의 약수이면, n을 강력한(powerful) 수라고 합니다.

자연수 n이 다른 자연수의 거듭제곱으로 표현되면, n을 완전 강력한(perfect power) 수라고 합니다.

자연수 n이 강력한 수이지만 완전 강력한 수는 아닐 때, n을 아킬레스(Achilles) 수라고 합니다. 예를 들어, 864와 1800은 아킬레스 수입니다: 864 = 2⁵·3³ 이고 1800 = 2³·3²·5² 입니다.

만일 S와 φ(S)가 모두 아킬레스 수라면, 자연수 S를 강한 아킬레스(Strong Achilles) 수라고 합니다. ¹
예를 들어, 864는 강한 아킬레스 수입니다: φ(864) = 288 = 2⁵·3². 그러나, 1800은 강한 아킬레스 수가 아닙니다: φ(1800) = 480 = 2⁵·3¹·5¹.

10⁴미만에는 7개의 강한 아킬레스 수가 있고, 10⁸미만에는 656개가 있습니다.

10¹⁸미만에는 강한 아킬레스 수가 몇 개 있습니까?

주)¹ φ 는 오일러 토션트(totient) 함수입니다.