다음 실수 $\sqrt 2 + \sqrt 3$를 고려해 봅시다.
$\sqrt 2 + \sqrt 3$의 짝수 거듭제곱을 계산해 보면 다음과 같습니다:
$(\sqrt 2 + \sqrt 3)^2 = 9.898979485566356 \dots $
$(\sqrt 2 + \sqrt 3)^4 = 97.98979485566356 \dots $
$(\sqrt 2 + \sqrt 3)^6 = 969.998969071069263 \dots $
$(\sqrt 2 + \sqrt 3)^8 = 9601.99989585502907 \dots $
$(\sqrt 2 + \sqrt 3)^{10} = 95049.999989479221 \dots $
$(\sqrt 2 + \sqrt 3)^{12} = 940897.9999989371855 \dots $
$(\sqrt 2 + \sqrt 3)^{14} = 9313929.99999989263 \dots $
$(\sqrt 2 + \sqrt 3)^{16} = 92198401.99999998915 \dots $

소수점 아래 소수부의 앞에 나오는 연속적인 9의 수는 감소하지 않는 것처럼 보입니다.
사실 $(\sqrt 2 + \sqrt 3)^{2 n}$의 소수부는 $n$이 매우 클 때 $1$에 가까워짐을 증명할 수 있습니다.

$n$이 매우 클 때, $(\sqrt p + \sqrt q)^{ 2 n}$의 소수부가 $1$에 가까워지는 $\sqrt p + \sqrt q$형태의 모든 실수를 고려해 봅시다. 여기서 $p$, $q$는 양의 정수이고 $p < q$입니다.

$C(p,q,n)$을 $(\sqrt p + \sqrt q)^{ 2 n}$의 소수부의 앞에 나오는 연속적인 9의 개수라고 합니다.

또한 $N(p,q)$을 $C(p,q,n) \ge 2011$이 되는 $n$의 최솟값이라 합니다.

$ p+q \le 2011$일 때, $\sum N(p,q)$를 구하세요.