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혈액 검사

Problem 352

출제 일시 : 2021-08-18 00:00:58

25 마리 양 각각에 대하여 2%의 양이 감염됐다고 알려진 희귀한 바이러스를 검사해야 합니다. 혈액 샘플을 이용하여 양성과 음성을 판정하는 매우 정확하고 극히 민감한 PCR 검사가 있지만 매우 시간이 오래 걸리고 비용도 많이 듭니다.

일회 검사 비용이 매우 높기 때문에, 담당 수의사는 25번의 개별 검사를 수행하는 대신 다음과 같은 방식을 사용할 수 있습니다:

양을 5 마리씩 5 그룹으로 나눕니다. 각 그룹의 5 마리 혈액 샘플을 함께 섞어 검사를 수행합니다. 그래서,

  • 만일 결과가 음성이면, 그 그룹의 모든 양은 바이러스에 감염되지 않았다고 볼 수 있습니다.
  • 만일 결과가 양성이면, 그룹내 5 마리의 혈액 샘플에 대한 5회의 추가 검사를 수행하여 개별 감염여부를 파악합니다.

특정 양에 대한 감염 확률이 겨우 0.02에 불과하기 때문에 그룹으로 묶어 검사한 첫 검사의 결과 확률은 다음과 같습니다:

  • 0.985 = 0.9039207968의 확률로 음성. 추가 검사 불필요.
  • 1 - 0.9039207968 = 0.0960792032의 확률로 양성. 5회의 추가 검사 필요.

따라서, 각 그룹에 기대되는 검사 횟수는 1 + 0.0960792032 × 5 = 1.480396016 입니다.
결과적으로 5그룹 전체를 선별하는데 단지 1.480396016 × 5 = 7.40198008번의 검사를 수행하면 되고, 이는 70% 이상의 매우 큰 비용 절감입니다!

방금 서술한 방식이 매우 효율적인 것처럼 보이지만, (이 검사가 충분히 민감해서 여러 샘플을 혼합해서 생기는 역효과는 없다고 가정합니다) 더 크게 개선할 수 있습니다. 예를 들면:

  • 한 번에 25마리 모든 양의 혈액 샘플을 섞어서 검사를 진행할 수 있습니다. 이 경우 약 60.35%의 확률로 음성이고 따라서 더 이상의 검사가 필요하지 않습니다. 추가적인 검사는 나머지 39.65%의 경우에만 필요할 것입니다.
  • 만일 5마리 그룹중 최소 한마리가 감염됐다고 알고 있고 그룹내 4마리의 개별 검사 결과가 음성이라면, 5번째 양은 (감염됐다고 알 수 있어) 검사할 필요가 없습니다.
  • 총 검사 횟수를 최소화하기 위해서 그룹의 수를 다르게 할 수도 있고, 각 그룹별로 양의 수를 다르게 하는 방법을 시도해 볼 수도 있습니다.

가장 비용 효율적인 검사 방식을 고안하기 위해 너무나 넓은 가능성이 있으므로 문제를 단순화하기 위해 다음과 같은 한가지 제약을 두겠습니다: 혼합 샘플을 하나 검사하게 되면, 그 샘플에 속한 모든 양이 양성인지 음성인지가 완전히 선별되고 난 뒤에 다른 양을 검사합니다.

현재 보기에서, (우리가 최적 전략이라 할) 가장 비용 효율적인 검사 방식을 사용하면 단지 평균 4.155452회의 검사만 필요합니다!

최적 전략을 사용한다고 가정할 때, T(s,p)를 개별 감염 확률이 p인 바이러스를 총 s마리의 양 무리에서 선별하는데 필요한 평균 검사횟수라고 합시다.
예로, 소수점 이하 6자리까지 반올림 하면, T(25, 0.02) = 4.155452 이고 T(25, 0.10) = 12.702124 입니다.

 T(10000, p) 여기서 p=0.01, 0.02, 0.03, ... 0.50 인 값을 구하세요.
답은 소수점 이하 6자리까지 반올림하여 제출하세요.


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