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위험한 달기지 여행

Problem 353

출제 일시 : 2021-08-22 00:02:44

달은 중심이 $(0,0,0)$ 이고 반지름이 $r$인 구 $C(r)$로 기술할 수 있습니다.

구 $C(r)$ 표면의 정수 좌표점에 달기지들이 있습니다. 북극기지는 $(0,0,r)$에 있고, 남극기지는 $(0,0,-r)$에 있습니다.

모든 달기지는 (각 기지를 통과하는) 대호상의 최단경로로 연결되어 있습니다. 달에서 두 기지 사이를 이동하는 것은 매우 위험합니다. 만일 두 기지 사이 경로의 길이가 d라면, 경로의 위험도는 $\left(\frac{d}{\pi r}\right)^2$ 로 측정됩니다. 만일 경로에 두 기지 이상이 포함된다면, 경로의 위험도는 사용된 경로의 위험도의 합입니다.

북극기지에서 남극기지로의 경로는 길이가 $\pi r$ 이고 위험도는 1입니다. 북극기지에서 남극기지로 가는데 $(0,r,0)$의 기지를 지난다면 길이는 같지만 위험도는 더 작습니다:

\[ \left(\frac{\frac{1}{2}\pi r}{\pi r}\right)^2+\left(\frac{\frac{1}{2}\pi r}{\pi r}\right)^2=0.5 \]

구 $C(r)$ 표면의 북극기지에서 남극기지로 가는 경로의 최소 위험도를 $M(r)$ 이라 합시다.

$M(7)=0.1784943998$이고, 이는 소수점이하 10자리까지 반올림한 값입니다.

$\displaystyle{\sum_{n=1}^{15}M(2^n-1)}$ 값을 구하세요.

답은 소수점이하 10자리까지 반올림해서 a.bcdefghijk 형태로 제출하세요.


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